Question

球O与单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球面O上一动点，AP与面ABCD所成角为α，则tanα的最大值为

2

2

．AP的最大值为

3 +1

2

．

Answer 1

分析：可根据几何性质来解决这个问题，球内切于一个正方体，其直径等于正方体的棱长，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，AP应在面AC₁上，故作出对棱面，在平面中研究．

解答：解：由题意，球直径与正方体边长相等，
正方体边长为1，球的半径为

1

2

，
由题意，要使AP与面ABCD所成角最大，则其在平面中的射影应最小，从而可知P点在对棱面AA₁C₁C上时，AP与平面ABCD所成的角为α，如图，截取对棱面AA₁C₁C，
由图知tan

α

2

=

2

2

故tanα=

2tan α 2

1-tan  2 α 2

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

此时，AP长为球心到A的距离加上球的半径，即

3 +1

2

故答案为2

2

，

3 +1

2

点评：本题以正方体的内切球为载体，考查正方体内切球的几何性质，以及切线长、半径、点心距组成的直角三角形．属于位置关系直接转化的题型．