Question

已知函数f(x)=2msin2x-2

3

msinxcosx+n，（m＞0）的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．
（1）求m、n的值；
（2）若将函数y=f（x），x∈R的图象按向量

a

平移后关于原点中心对称，求向量

a

的坐标．

Answer 1

分析：（1）先利用辅助角公式进行化简整理，然后讨论m的正负，根据x的范围建立方程组，从而可求出所求；
（2）根据（1）分别求出函数的对称中心，从而可求出向量

a

的坐标．

解答：解：（1）f(x)=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+

π

6

)+m+n，
x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]⇒sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，（4分）
∵m＞0，∴f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
（2）令sin(2x+

π

6

)=0，解得x=

kπ

2

-

π

12

，(k∈Z)，
当m=3，n=-2时，f(x)=-6sin(2x+

π

6

)+1，

a

=(

kπ

2

+

π

12

，-1)，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及平面向量坐标表示的应用，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．