Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（y₁＞0，y₂＜0）两点，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点，若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：k_MA=a、k_MF=b、k_MB=c，（如图）
（1）若y₁y₂=-4，求抛物线的方程；
（2）当b=2时，求证：a+c为定值．

Answer 1

分析：（1设）直线方程为y=k（x-

p

2

）或x=

p

2

（斜率k不存在）在与抛物线方程联立，求出y₁y₂，再根据y₁y₂=-4，就可求出p值，进而求出抛物线方程．
（2）当b=2时，分别用含A，B，M三点坐标式子表示：k_MA，k_MF，k_MB，再利用它们的关系求a+c，看是否为常数．

解答：解：（1）设过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0）的直线方程为y=k（x-

p

2

）或x=

p

2

（斜率k不存在），则 

y2=2px  y=k(x- p 2 )

   得

k

2p

y2 -y-

px

2

=0，∴y₁y₂=-p²
当x=

p

2

（斜率k不存在）时，则A（

p

2

，p），B（

p

2

，-P），∴y₁y₂=-p²
又∵y₁y₂=-4∴P=2，∴所求抛物线方程为y²=4x
（2）设A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），M（-

p

2

，t），F（

p

2

，0），
由已知直线MA，MF，MB的斜率分别记为：k_MA，=a，k_MF=b，k_MB=c，
得a=

y1-t

x1+ p 2

，b=

-t

p

，c=

y2-t

x2+ p 2

且x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

∴a+c=

y1-t

x1+ p 2

+

y2-t

x2+ p 2

=

y1-t

y12 2p + p 2

+

y2-t

y22 2p + p 2

=-

2t

p

=2b
∵b=2，∴a+c=4∴a+c为定值．

点评：本题主要考查了用直线与抛物线的位置关系，求抛物线方程，以及定植问题的考查，做题时应认真分析，找出联系．