Question

（选做题）已知矩阵

.

1 2 2 x

.

的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

Answer 1

分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ₂=-1，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．

解答：解：矩阵M的特征多项式为

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）
因为λ₁=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）
由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ₂=-1，…（5分）
设λ₂=-1对应的一个特征向量为α=

x y

，
则

-2x-2y=0 -2x-2y=0

得x=-y…（8分）
令x=1则y=-1，
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=

1 -1

…（10分）

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算的知识，同时考查了计算能力，属于基础题．