Question

若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.
（1）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数具有性质，求的取值范围；
（3）试探究形如①、②、③、④、⑤的函数，指出哪些函数一定具有性质?并加以证明.

Answer 1

（1）证明：代入得：
即，解得
∴函数具有性质.
（2）解:的定义域为R，且可得，
∵具有性质，
∴存在，使得,代入得
化为
整理得: 有实根
①若,得，满足题意；
②若,则要使有实根，只需满足,
即，解得
∴ 
综合①②,可得
（3）解法一：函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解.
①若，则方程（*）可化为
整理，得
当时，关于的方程（*）无解
∴不恒具备性质；
②若，则方程（*）可化为，解得.
∴函数一定具备性质.
③若，则方程（*）可化为无解
∴不具备性质；
④若，则方程（*）可化为，化简得
当时，方程（*）无解
∴不恒具备性质；
⑤若，则方程（*）可化为，化简得
显然方程无解
∴不具备性质；
综上所述，只有函数一定具备性质.
解法二：函数恒具有性质，即函数与的图象恒有公共点.由图象分析，可知函数一定具备性质.
下面证明之：
方程可化为，解得.
∴函数一定具备性质.

略