Question

（本题满分14分）
如图，酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8 cm .上口宽6cm , 水以20 cm³/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，求水升高的瞬时变化率.

Answer 1

解法一：设时刻t s时，杯中水的体积为Vcm³,水面半径为r cm, 水深为h cm.

则                                     2分
   5分
                7分
记水升高的瞬时变化率为（即当无限趋近于0时，无限趋近于）
从而有，当h=4时，解得   12分
答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。         14分
解法二：仿解法一，可得，即      4分
    5分
当无限趋近于0时，无限趋近于,即无限趋近于   12分
当h=4时,水升高的瞬时变化率是.                                14分
解法三：水面高为4 cm时，可求得水面半径为，设水面高度增加时，水的体积增加，从而,(用圆柱近似增加的水体积) ,              8分
故.当无限趋近于0时得                   10分
即                                                     12分
答：当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为。                 14分
解法四：设t 时刻时注入杯中的水的高度为 h ,杯中水面为圆形，其圆半径为r      1分
如图被子的轴截面为等腰三角形ABC,AO₁O为底边BC上的高，O₁,O 分别为DE，BC中点，
容易求证∽，那么           2分
时刻时杯中水的容积为V=     3分
又因为V="20t,                                " 4分
则   即           6分
                            8分
当h="4" 时，设t=t₁,
由三角形形似的，               9分
那么              10分
      12分
答:当水高为4 cm时，水升高的瞬时变化率为cm/s                   14分

略