Question

2．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2015}$|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“海宝”函数．给出下列函数：
①f（x）=x²；②f（x）=sinx+cosx；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=3^x+1
其中f（x）是“海宝”函数的序号为③．

Answer 1

分析 结合题中的新定义，取x=0时，可排除②④，对①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，
③中整理可得：$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤k，只需求出$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$的最大值即可．

解答 解：当x=0时，
②中f（0）=1，④中f（0）=2显然不成立，故不是“海宝”函数；
①中整理可得：2015|x|≤k，不存在常数k，使对一切实数x均成立，故不是“海宝”函数；
③中整理可得：$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤k，对一切实数x均成立，
∵x²+x+1≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{2015}{{x}^{2}+x+1}$≤$\frac{8060}{3}$，
∴k≥$\frac{8060}{3}$，故③正确．
故答案为 ③

点评 考查新定义，需对新定义理解透彻，利用新定义逐一判断．