Question

已知函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与过坐标原点O的直线l相切于点T（t，f（t）），且f（t）≠0，证明：1＜t＜e；（注：e是自然对数的底）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），建立方程，可求函数的解析式；
（Ⅱ）由切线过点T（t，f（t））得到关于实数t的方程

2

t

+elnt-e=0，将问题转化为函数g(t)=

2

t

+elnt-e的零点区间判定问题，排除零点在区间(0，

2

e

]内是该题的一个难点（在（Ⅰ）的启发下，想到

1

e

是区间(0，

2

e

]内的唯一零点，但因f(

1

e

)=0而排除）．

解答：（Ⅰ）解：由f(x)=

1

x

+clnx，得f′(x)=-

1

x2

+

c

x

．…（1分）
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与x轴相切于点S（s，0），
∴f′(s)=-

1

s2

+

c

s

=

cs-1

s2

=0，…①且f（s）=

1

s

+clns=0…．②…（2分）
联立①②得c=e，s=

1

e

．…（3分）
∴f(x)=

1

x

+elnx．…（4分）
（Ⅱ）证明：求导函数得f′(x)=-

1

x2

+

e

x

．
∵函数f(x)=

1

x

+clnx的图象与直线l相切于点T（t，f（t）），直线l过坐标原点O，
∴直线l的方程为：y=(-

1

t2

+

e

t

)x，
又∵T在直线l上，∴实数t必为方程

2

t

+elnt-e=0…．③的解．…（5分）
令g(t)=

2

t

+elnt-e，则g′(t)=-

2

t2

+

e

t

=

et-2

t2

，
解g′（t）＞0得t＞

2

e

，g′（t）＜0得0＜t＜

2

e

．
∴函数y=g（t）在(0，

2

e

]递减，在(

2

e

，+∞)递增．…（7分）
∵g(

1

e

)=0，且函数y=g（t）在(0，

2

e

)递减，
∴t=

1

e

是方程

2

t

+elnt-e=0在区间(0，

2

e

]内的唯一一个解，
又∵f(

1

e

)=0，∴t=

1

e

不合题意，即t＞

2

e

．…（8分）
∵g（1）=2-e＜0，g(e)=

2

e

＞0，函数y=g（t）在(

2

e

，+∞)递增，
∴必有1＜t＜e．…（10分）

点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式、直线方程和三角函数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、特殊与一般思想．