Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如下表：

x	…	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3 4 π	…
y	…	0	1	1 2	0	-1	0	…

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在△ABC中，AC=2，BC=3，f(A)=-

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由题中表格给出的信息可知，
函数f（x）的周期为T=

3π

4

+

π

4

=π，
所以ω=

2π

π

=2．
注意到sin(2×(-

π

4

)+φ)=0，也即φ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
由0＜φ＜π，所以φ=

π

2

所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+

π

2

)（或者f（x）=cos2x）
（Ⅱ）∵f(A)=cos2A=-

1

2

，∴A=

π

3

或A=

2π

3

当A=

π

3

时，在△ABC中，由正弦定理得，

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=

AC•sinA

BC

=

2× 3 2

3

=

3

3

，
∵BC＞AC，∴B＜A=

π

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

3

2

×

6

3

+

1

2

×

3

3

=

3 2 + 3

6

，
∴S△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=

1

2

×2×3×

3 2 + 3

6

=

3 2 + 3

2

；）
同理可求得，当A=

2π

3

时，
S△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=

1

2

×2×3×

3 2 - 3

6

=

3 2 - 3

2

．