Question

（2012•贵州模拟）已知P(2，2

3

)为圆O：x²+y²=25内一点，过P作圆O的两条相互垂直的弦，M、N分别为这两条弦的中点，则四边形OMPN面积的最大值为

8

．

Answer 1

分析：先计算圆心O到两条相互垂直的弦的距离，再利用基本不等式，即可求得四边形OMPN面积的最大值．

解答：解：∵圆O：x²+y²=25，∴圆心O坐标（0，0），半径r=5，
设圆心O到两条相互垂直的弦的距离分别为d₁、d₂，
∵P(2，2

3

)
∴d₁²+d₂²=OP²=16
∵M、N分别为这两条弦的中点，
∴四边形OMPN是矩形
∴四边形OMPN面积为d₁d₂≤

1

2

（d₁²+d₂²）=8，当且仅当d₁=d₂时，四边形OMPN面积的最大值为8
故答案为：8．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及基本不等式的运用，属于中档题．