Question

（2013•荆门模拟）已知数列{a_n}的首项a₁=5，且a_n+1=2a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f(x)=a1x+a2x2…+anxn(n∈N+)，求a₁+2a₂+3a₃…+na_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），可知数列{a_n+1}是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用导数的运算法则可得f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1，于是f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n，把a_n代入，再利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=6，∴{a_n+1}是以6为首项，2为公式的等比数列，
∴an+1=6•2n-1，
∴an=3•2n-1．
（2）∵f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1，
∴f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=3（2+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
令S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
则2Sn=2×2+2×23+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相减得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．
∴f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=3(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+6．

点评：本题综合考查了可化为等比数列的通项公式的求法、等比数列的通项公式、导数的运算法则、“错位相减法”等基础知识与即比较南方，属于难题．