Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求ω的值
（2）根据（1）中函数的解析式，结合x∈[0，

π

2

]，通过正弦函数的图象和性质，求函数f（x）的最大值；

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0
故ω=1
（2）由（1）得f（x）=2sin（2x+

π

6

）
当x∈[0，

π

2

]时，
2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取最大值2
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，f（x）取最小值-1

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的最值，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．