Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）
B．（0，1）∪（1，2）
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先表述出函数f（x）的解析式然后代入将函数g（x）表述出来，然后对底数a进行讨论即可得到答案．
解答：解：已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，
则f（x）=log_ax，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
当a＞1时，
若y=g（x）在区间上是增函数，y=log_ax为增函数，
令t=log_ax，t∈[，log_a2]，要求对称轴，矛盾；
当0＜a＜1时，若y=g（x）在区间上是增函数，y=log_ax为减函数，
令t=log_ax，t∈[log_a2，]，要求对称轴，
解得，
所以实数a的取值范围是，
故选D．
点评：本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．