Question

已知函数φ(x)=

a

x+1

，a为正常数．
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令其小于0，结合函数的定义域，可求函数的单调减区间；
（Ⅱ）由已知，

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，构造h（x）=g（x）+x，利用导数研究其单调性，及最值进行求解．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，∵a=

9

2

，令f′（x）＜0，
得

1

2

＜x＜2，故函数f（x）的单调减区间为(

1

2

，2)．                 …（5分）
（Ⅱ）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
∴

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0，
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数，当1≤x≤2时，h（x）=lnx+

a

x+1

+x，
h′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，令h′（x）≤0，得a≥

(x+1)2

x

+(x+1)2═x2+3x+

1

x

+3对x∈[1，2]恒成立
设m(x)=x2+3x+

1

x

+3，则m′(x)=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′(x)=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）有最大值为

27

2

，∴a≥

27

2

．
当0＜x＜1时，h(x)=-lnx+

a

x+1

+x，h′(x)=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h'（x）≤0，得：a≥-

(x+1)2

x

+(x+1)2=x2+x-

1

x

-1，
设t(x)=x2+x-

1

x

-1，则t′(x)=2x+1+

1

x2

＞0，∴t（x）在（0，1）上是增函数，
∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，综上所述，a≥

27

2

．                 …（16分）

点评：本题考查函数单调性与导数的关系及应用，考查转化、计算能力．