Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

21

7

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值．并求出定值．

Answer 1

分析：（I）由右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

21

7

，可得

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，又e=

c

a

=

1

2

，及a²=b²+c²联立即可解出；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，把根与系数的关系代入即可；（2）直线AB斜率不存在时也满足．

解答：解：（I）由右焦点到直线

x

a

+

y

b

=1的距离d=

21

7

，可得

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，化为3（a²+b²）=7（bc-ab）²，又e=

c

a

=

1

2

，联立得

3(a2+b2)=7(bc-ab)2 a=2c a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=3，c=1

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴

(k2+1)(4m2-12)

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m2=0，整理得7m²=12（k²+1），并且满足△＞0．
所以O到直线AB的距离d=

|m|

k2+1

=

12 7

=

2 21

7

为定值．
（2）直线AB斜率不存在时，联立

y=x x2 4 + y2 3 =1

，解得x=±

2 21

7

，点O到直线AB的距离为

2 21

7

为定值．
综上（1）（2）可知：点O到直线AB的距离为定值

2 21

7

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量垂直与数量积得关系、点到直线的距离公式等基本知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力与计算能力．．