Question

已知函数f（x）=2^x+1的反函数是f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）
（1）用定义证明f^-1（x）在定义域上的单调性；
（2）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值集合D．

Answer 1

分析：（1）先求出反函数的解析式及定义域，在定义域内任取两个自变量 m＞n＞1，化简f^-1（m）-f^-1（n）的结果，把此结果和0作对比，依据单调性的定义做出判断．
（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2^x+1，∴x=log₂^{（f（x）-1）}，∴f^-1（x）=log₂^（x-1） （x＞1），
设 m＞n＞1，f^-1（m）-f^-1（n）=

log

m-1 n-1 2

，
∵m-1＞n-1＞0，∴

m-1

n-1

＞1，
∴

log

m-1 n-1 2

＞0，
∴f^-1（m）-f^-1（n）＞0，f^-1（m）＞f^-1（n），
 f^-1（x）在其定义域（1，+∞）内是增函数．

（2）∵f^-1（x）≤g（x），
∴log₂^（x-1）≤log₄（3x+1），

log

(x-1)2 4

≤log₄（3x+1），
∴

x-1＞0   (x-1)2≤ 3x+1

，1＜x≤5，
∴x的取值集合D=（1，5]．

点评：本题考查反函数的求法，证明函数的单调性的方法，以及利用对数函数的单调性和定义域解对数不等式．