Question

如图所示，有6个半径都是1的圆，相邻两圆均外切，记集合M={Q_i|i=1，2，3，4，5，6}现任取集合M的两个非空子集A，B组成一个有序集合组《A，B》，且满足：集合A中任何一个圆与集合B中任何一个圆均无公共点，则这样的序集合组的个数是（ ）

A．58
B．48
C．36
D．32

Answer 1

【答案】分析：根据题意，分A为单元素集合或二元素集合或三元素集合3种情况加以讨论，分别求出满足条件的有序集合组《A，B》的个数，最后根据分类计算原理，将各种情况下的种数相加，即得所有满足条件的有序集合组《A，B》的个数．
解答：解：（1）当A为单元素集合时，
①A={O₁}时，B⊆{O₃，O₅，O₆}且B≠φ，
此时共有2³-1=7种情况，使有序集合组《A，B》满足条件；
②A={O₃}时，B⊆{O₄，O₄，O₆}且B≠φ，
此时共有2³-1=7种情况，使有序集合组《A，B》满足条件；
③A={O₆}时，B⊆{O₁，O₂，O₃}且B≠φ，
此时共有2³-1=7种情况，使有序集合组《A，B》满足条件；
④A={O₂}时，B={O₆}；A={O₄}时，B={O₃}；
A={O₅}时，B={O₁}．共3种情况使有序集合组《A，B》满足条件．此种情况总共7+7+7+3=24种
（2）当A为二元素集合时，
①A={O₁，O₂}时，B={O₆}；A={O₁，O₄}时，B={O₃}；A={O₁，O₃}时，B={O₆}；
A={O₁，O₆}时，B={O₃}．共4种情况使有序集合组《A，B》满足条件；
②A={O₂，O₃}时，B={O₆}；A={O₃，O₅}时，B={O₆}；A={O₃，O₆}时，B={O₁}．
共3种情况使有序集合组《A，B》满足条件；
③A={O₄，O₆}时，B={O₃}；A={O₅，O₆}时，B={O₁}．共2种情况使有序集合组《A，B》满足条件；
此种情况总共4+3+2=9种
（3）当A为三元素集合时，
A={O₁，O₂，O₃}时，B={O₆}；A={O₁，O₄，O₆}时，B={O₃}；A={O₃，O₅，O₆}时，B={O₁}．此种情况总共3种
综上所述，得满足条件的有序集合组《A，B》的个数总共24+9+3=36个
故选C
点评：本题以六个等圆组合成图形为例，求满足条件的有序集合组《A，B》的个数，着重考查了排列与组合和分类计数原理等知识，属于中档题．