Question

如图所示，设a=(－l－x)i，b=(1－x)i＋yj(x，y∈R，i，j分别是x、y轴正方向上的单位向量)，且|a|=|b|．

(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(2)过点(4，0)作直线l交曲线C于A、B两点，设，求证：四边形OAPB为矩形．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)解：依题设可知，，化简得． 所以点M的轨迹C的方程为． (2)证明：由四边形OAPB是平行四边形． 由l⊥x轴时，有 所以A(4，4)、B(4，－4)，∠AOB=90°，显然符合题意； 当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x－4)(k≠0)，A(，)、B(，)．则由，所以，． 将A、B两点坐标代入直线l的方程中，得，所以，所以OA⊥OB，又四边形OAPB是平行四边形，所以四边形OAPB为矩形．