Question

已知三点A、B、C的坐标分别为A(cosα，sinα)(α≠

kπ

4

，k∈Z)，B（3，0），C（0，3），若

AB

•

AC

=-1，求

1+sin2α-cos2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：直接求出向量

AB

，

AC

，利用

AB

•

AC

=-1，推出sinα+cosα=

2

3

，然后利用二倍角公式，以及切化弦整理所求表达式，通过sinα+cosα=

2

3

平方求出2sinαcosα=-

5

9

，得到结果．

解答：解：

AB

=(3-cosα，-sinα)，

AC

=(-cosα，3-sinα）
∵

AC

•

BC

=-1，∴（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1（12分）
整理得：sinα+cosα=

2

3

①（5分）

1+sin2α-cos2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα（10分）
由①平方得1+2sinαcosα=

4

9

，∴2sinαcosα=-

5

9

即

1+sin2α-cos2α

1+tanα

=-

5

9

（12分）

点评：本题是中档题，以向量的数量积为载体，考查三角函数基本公式的应用，考查计算能力，转化思想．