Question

（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为、，点，满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于两点，且，求椭圆的方程．

Answer 1

(1) (2)

试题分析：解：(1)设，因为，
所以. …………………………………………………………………2分
整理得，得(舍)，或.
所以.……………………………………………………………………………………4分
(2)由(1)知，椭圆方程，的方程为．
两点的坐标满足方程组，消去并整理，得.
解得.得方程组的解，.………………………7分
不妨设，则.
于是.
圆心到直线的距离.………………10分
因为，所以，整理得.
得 (舍)，或.
所以椭圆方程为. ……………………………………………………………12分
点评：解决该试题的关键是能利用其性质得到关系式，同时联立方程组，求解交点的坐标，进而得到弦长，以及点到直线距离得到结论，属于基础题。