Question

已知函数f(x)=

x

x+3

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足bn=

1

2

anan+1•3n，Sn=b1+b2+…+bn，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知，a_n+1=

an

an+3

，构造出

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

）求出数列{

1

an

+

1

2

}的通项后再求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）可求得bn=

1

2

anan+1•3n=

2•3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

，经这样裂项后再求和．

解答：解：（1）由已知，a_n+1=

an

an+3

，所以

1

an+1

=

3

an

+1，
∴

1

an+1

+

1

2

=3（

1

an

+

1

2

），
∴数列{

1

an

+

1

2

}是以1+

1

2

=

3

2

为首项，以3为公比的等比数列．
∴

1

an

+

1

2

=

3

2

•3 ^n-1=

3n

2

，

1

an

=

3n-1

2

所以a_n=

2

3n-1

（2）bn=

1

2

anan+1•3n=

2•3n

(3n-1)(3n+1-1)

=

1

3n-1

-

1

3n+1-1

S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

31-1

-

1

32-1

+（

1

32-1

-

1

33-1

）+…+（

1

3n-1

-

1

3n+1-1

）=

1

2

-

1

3n+1-1

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，考查等比数列的判定、通项公式求解，裂项求和法，考查变形构造、转化、计算能力．