Question

直线可能和双曲线有三个交点吗？

Answer 1

分析：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，直线方程y=kx+m，联立方程

y=kx+m x2 a2 - y2 b2 =1

可得（b²-k²a²）x²-2kma²x-a²（b²+m²）=0，（i）当b²-k²a²=0时，方程（*）只有一个根（ii）当b²-k²a²≠0，方程（*）最多有2个解

解答：解：不能
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，直线方程y=kx+m
联立方程

y=kx+m x2 a2 - y2 b2 =1

可得（b²-k²a²）x²-2kma²x-a²（b²+m²）=0（*）
（i）当b²-k²a²=0时，方程（*）只有一个根，即直线与双曲线只有一个交点
（ii）当b²-k²a²≠0，方程（*）最多有2个解，即直线与双曲线最多有2个交点
故直线与双曲线不能有3个交点

点评：本题主要考查了直线与曲线的位置关系的判断，主要利用了方程的思想，要注意分类讨论思想的应用．