Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）由图形知，可先证CD垂直于PA，由PA∥EF，即可得出结论；
（Ⅱ）G是AD的中点，取PC的中点H，连接DH，可得出DH∥GF，先证DH⊥平面PCB．即可得结论GF⊥平面PCB；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小，由题设，令底面边长为a，BD易求，由图形结构知，可用等体积法求出B到面DEF的距离，由此线面的正弦求得．
解法二：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，给出各点的坐标
（Ⅰ）求出两直线的方向向量的坐标，用内积为0证之；
（Ⅱ）设G（x，0，z），由题意

GF

必是平面的法向量，故与平面的向量内积为0，由此得方程，求出参数的值，发现在点G的位置．
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小，求出直线DB的方向向量与平面DEF的法向量，由公式求出即可．

解答：解：法一（Ⅰ）由题意，如图可得EF∥PA，∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PA，∴EF⊥CD
（Ⅱ）答：G是AD的中点．
取PC的中点H，连接DH.

∵PD=DC

，∴DH⊥PC.，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB.，∴四边形DGFH为平行四边形，
∴GF⊥平面PCB．
（Ⅲ）设B到平面DEF的距离为d，下用等体积法求d
.

∵VB-DEF=VF-DEB

，
∴

1

3

S△DEF•d=

1

3

S△DEB•FO．，
S△DEB=

1

4

a2，EF=

1

2

AP=

2 a

2

，
DF=

1

2

PB=

1

2

3

a，DE=

a2+ a2 4

=

5

2

a．
∵EF2+DF2=

2

4

a2+

3

4

a2=

5

4

a2=DE2
∴∠DFE=90°
∴S△DEF=

6

8

a2，
∴

6

8

a2•d=

1

4

a2•

1

2

a?d=

1

6

a．
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ=

d

DB

=

3

6

，
∴DB与平面DEF所成角为arcsin

3

6

．
∵BD=

2

a
∴DB与平面DEF所成角的正弦为

1 6 a

2 a

=

3

6

，∴DB与平面DEF所成角arcsin

3

6

法二：
以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则
D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）E(a，

a

2

，0)、F(

a

2

，

a

2

，

a

2

)、P（0，0，a）．
（Ⅰ）

EF

•

DC

=(-

a

2

，0，

a

2

)•(0，a，0)=0，
∴EF⊥DC．
（Ⅱ）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．

FG =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )， FG • CB =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )•(a，0，0)=a(x- a 2 )=0，x= a 2 ； FG • CP =(x- a 2 ，- a 2 ，z- a 2 )•(0，-a，a)= a2 2 +a(z- a 2 )=0，z=0. ∴G点坐标为( a 2 ，0，0)，即G点为AD的中点．

（Ⅲ）设平面DEF的法向量为

n

=(x，y，z)．

由 n • DF =0 n • DE =0 得 (x，y，z)•( a 2 a 2 a 2 )=0 (x，y，z)•(a a 2 ，0)=0 即 a 2 (x+y+z)=0 ax+ a 2 y=0. 取x=1，则y=-2，z=1， ∴ n =(1，-2，1)． cos＜ BD ， n ＞= BD • n | BD || n | = a 2 a• 6 = 3 6 ， ∴DB与平面DEF所成角大小为 π 2 -arccos 3 6 (即arcsin 3 6 )．

点评：本题考查空间的线面关系、线面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归转化的数学思想和方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，求解本题的关键是正确理解线面角的定义，及线面角与向量夹角的对应关系，易公式用错导致错误．