Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，P、Q是椭圆C上的两个动点，M(1，

6

2

)是椭圆上一定点，F是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

2

2

及点M(1，

6

2

)在椭圆上，建立方程组，求得几何量，即可求得椭圆的标准方程；
（2）利用椭圆的第二定义，结合|PF|、|MF|、|QF|成等差数列，求得P，Q横坐标之间的关系，再分类讨论，确定线段PQ的垂直平分线，即可求得结论．

解答：解：（1）由离心率为

2

2

及点M(1，

6

2

)在椭圆上，
可得

c a = 2 2 1 a2 + 3 2 b2 =1 a2=b2+c2

，∴a²=4，b²=2，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

2

=1…（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则由椭圆的第二定义可得|PF|=2+

2

2

x₁，|QF|=2+

2

2

x₂，|MF|=2+

2

2

，
∵|PF|、|MF|、|QF|成等差数列，∴2|MF|=|PF|+|QF|，∴2（2+

2

2

）=4+

2

2

（x₁+x₂），∴x₁+x₂=2…（10分）
①当x₁≠x₂时，∵x12+2y12=4，x22+2y22=4，
∴两式相减，整理可得

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

设线段PQ的中点为N（1，n），∴PQ的斜率为-

1

2n

，
∴线段PQ的中垂线方程为y-n=2n（x-1）
∴（2x-1）n-y=0，∴该直线恒过定点A（

1

2

，0）；
②当x₁=x₂时，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

）或Q（1，-

6

2

），P（1，

6

2

）
∴线段PQ的中垂线是x轴，也过点A（

1

2

，0）．
综上，线段PQ的垂直平分线过点A（

1

2

，0）．…（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的第二定义，考查学生的计算能力，属于中档题．