Question

18．已知等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，其前n项和为S_n，若直线y=a₁x与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则S_n=2n-n²．

Answer 1

分析 利用直线y=a₁x与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，可得a₁=1，d=-2，利用等差数列的求和公式，即可得到结论．

解答 解：∵直线y=a₁x与圆（x-2）²+y²=1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，
∴y=a₁x必定和x+y+d=0垂直，
∴a₁=1，
∴y=a₁x与圆两个交点的中点必过x+y+d=0，联立方程：
解得：d=-2
∴S_n=n×1+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=2n-n²．
故答案为：2n-n²．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，圆的对称性，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．