Question

【题目】已知椭圆左右焦点为，左顶点为A（-2.0），上顶点为B,且∠=.

（1）求椭圆C的方程；

（2）探究轴上是否存在一定点P，过点P的任意直线与椭圆交于M、N不同的两点，M、N不与点A重合，使得 为定值，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点使得为定值

【解析】

（1）由题意知a，结合∠=可得c，．再利用a2＝b2+c2，得b2即可．

（2）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积为定值，得到k与m的关系，即可得出结论．

（1）由题意知：又∠=，所以为正三角形，

,,

椭圆C的方程为；

（2）设直线MN的为,M,N,

,,

,

，消去y得,

,

由韦达定理,,

,

,

得,

为定值，则，即,

得

即存在点使得为定值.