Question

已知函数f(x)=sin

x

2

•cos

x

2

+

3

sin2

x

2

+

3

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角差的正弦函数化简求f（x）为sin(x-

π

3

)+

3

，然后求出它的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，直接求出求函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sinx+

3

2

(1-cosx)+

3

2

=(

1

2

sinx-

3

2

cosx)+

3

=sin(x-

π

3

)+

3

，
所以函数f（x）的最小正周期为2π．（（8分））
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，
得2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

5π

6

，k∈Z．
故函数f（x）的单调增区间为：[2kπ-

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z．（13分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，三角函数式的化简与求值，三角函数的单调增区间的求法，考查计算能力．