Question

已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log2x)=

-x+a

x+1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数有f（0）=0，可求出a，换元后得出f(x)=

-2x+1

2x+1

（2）直接利用函数单调性的证明步骤进行证明
（3）将不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，转化为t²-2t＞k-2t²，再利用二次函数的性质求解．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
在f(log2x)=

-x+a

x+1

中令x=1得出f（0）=

a-1

2

0，所以a=1
令log₂x=t，则x=2^t，y=f（t）=f(x)=

-2t+1

2t+1

（t∈R）
所以f(x)=

-2x+1

2x+1

（2）减函数
证明：任取 x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，
由（1）f(x2)-f(x1)=

1-2x2

1+2x2

-

1-2x1

1+2x1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，(1+2x1)(1+2x2)＞0
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0
∴该函数在定义域R上是减函数
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），由（2），f（x）是减函数
∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得k＜-

1

3

即为所求．

点评：本题考查函数解析式求解、函数的奇偶性、单调性的判定及应用．考查转化、计算、论证能力．