Question

若lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是

（-∞，

5

2

]

．

Answer 1

分析：把lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

等价转化为lnx≥a-1-

1

x2+1

，得到lnx+

1

x2+1

≥a-1，从而原题等价转化为y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，由此利用导数知识能够求出a的取值范围．

解答：解：∵lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

=a-1-

1

x2+1

，
∴lnx+

1

x2+1

≥a-1，
∵lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立，
∴y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1，
∵y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

，
令y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

=0，得x=1，或x=-1（舍），
∴x∈[1，+∞）时，y′=

1

x

-

4x

(x2+1)2

＞0，
∴y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上取最小值1+

1

12+1

=

3

2

，
故

3

2

≥a-1，
所以a≤

5

2

．
故答案为：（-∞，

5

2

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是lnx≥

(a-1)x2+a-3

x2+1

在x∈[1，+∞）上恒成立等价转化为y=x+

1

x2+1

在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a-1．