题目内容

已知数列 $数学公式$ 满足： $数学公式$ ，其中 $数学公式$ ．
（1）当 $数学公式$ 时，求{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{b_n}中， $数学公式$ ，且b₁=1．求证：对于 $数学公式$ 恒成立；
（3）对于 $数学公式$ ，设{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n+2与 $数学公式$ 的大小．

（1）解：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 分
故数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
故数列{a_n}的通项公式为　 $\text{[math]}$ 分
（2）证明：由（1）得， $\text{[math]}$ ，
∴当n∈N^*，n≥2时，有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 分
b₁=1也满足上式，故当n∈N^*时， $\text{[math]}$ ．
∵n∈N^*，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 分
（3）解：解法一：由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为sin²θ的等比数列，
故 $\text{[math]}$ 分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）
= $\text{[math]}$ 分
因此，S_n+2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +2- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴S_n+2＜ $\text{[math]}$ ．…（14分）
解法二：同解法一得 $\text{[math]}$ 分
∵ $\text{[math]}$ 分
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（cos²θ+cos⁴θ+…+cos²ⁿθ）+（sin²θ+sin⁴θ+…+sin²ⁿθ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴S_n+2＜ $\text{[math]}$ ．…（14分）
（其他解法酌情给分）
分析：（1）先确定数列{a_n}是首项为a₁=1，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，再求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得， $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ 确定角的范围，即可得到结论；
（3）解法一：先确定{a_n}的通项公式，再分组求和，作差比较可得结论；
解法二：先确定{a_n}的通项公式，再分组求和，利用放缩法可得结论；
点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，考查大小比较，确定数列通项，掌握求和方法是关键．