题目内容

设函数f（x）=x³- $数学公式$ ax²+3x+5（a＞0），求f（x）的单调区间．

解：f′（x）=3x²-ax+3，判别式△=a²-36=（a-6）（a+6）．
1°0＜a＜6时，
△＜0，f′（x）＞0对x∈R恒成立．
∴当0＜a＜6时，f′（x）在R上单调递增．
2°a=6时，y=x³-3x²+3x+5=（x-1）³+4．
∴在R上单调递增．
3°a＞6时，△＞0，由f'（x）＞0?x＞ $\text{[math]}$ 或
x＜ $\text{[math]}$ ．f'（x）＜0? $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ．
∴在（ $\text{[math]}$ ，+∞）和（-∞， $\text{[math]}$ ）内单调递增，
在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内单调递减．
分析：由于是高次函数，所以用导数法，先求导得f′（x）=3x²-ax+3，令f′（x）=0分三种情况讨论：当判别式△=0时为增函数，当
△＜0时，为增函数．当△＞0时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭．
点评：本题主要是通过函数的单调性来考查一元二次方程要有的情况．还考查了分类讨论思想和转化思想．