题目内容

已知 $数学公式$ ，?＞0，函数 $数学公式$ ，x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为 $数学公式$ ．
（1）求?的值．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边． $数学公式$ ．

解：（1）由题意可知： $\text{[math]}$
=cos²?x+2 $\text{[math]}$ sin?xcos?x-sin²?x+1
=cos2?x $\text{[math]}$ sin2?x+1
=2sin（2?x+ $\text{[math]}$ ）+1，
又x₁，x₂是集合M={x|f（x）=1}中任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为 $\text{[math]}$ ，
所以函数f（x）的半周期为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得?=1
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1，进而可得2sin（2C+ $\text{[math]}$ ）+1=2，
化简得sin（2C+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，解得C= $\text{[math]}$ ，
由余弦定理可得 $\text{[math]}$ =（a+b）²-3ab，
由S_△ABC= $\text{[math]}$ absinC= $\text{[math]}$ ab= $\text{[math]}$ ，可得ab=2，
综合上面两式可得a+b= $\text{[math]}$ ，ab=2，故ab为方程 $\text{[math]}$ 的根，
解得a= $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$
分析：（1）由向量的知识可对式子化简，由题意易得周期，进而可得?的值；
（2）代入解析式可得C，由余弦定理和面积公式联合可得关于ab的方程组，解之即可．
点评：本题考查向量的数量积，以及解三角形的知识，属中档题．