Question

已知函数f（x）=2^x-1的反函数为f^-1（x），g（x）=log₄（3x+1）．
（1）若f^-1（x）≤g（x），求x的取值范围P；
（2）设h(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，当x∈P时，求函数h（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）=2^x-1的反函数，后列出对数不等式，再转化为整式不等式解之即得；
（2）先利用对数的运算性质化简h（x）的解析式，再结合对数函数的图象与性质，从而解决问题．

解答：解：（1）f^-1（x）=log₂（x+1）由log₂（x+1）≤log₄（3x+1）
得

(x+1)2≤3x+1 x+1＞0 3x+1＞0

?

0≤x≤1 x＞-1 x＞- 1 3

?0≤x≤1
∴P={x|0≤x≤1}
（2）h(x)=log4(3x+1)-

1

2

log2(x+1)=log4(3x+1)-log4(x+1)=log4

3x+1

x+1

=log4(3-

2

x+1

)
∵x∈[0，1]?∴x+1∈[1，2]?

2

x+1

∈[1，2]
∴3-

2

x+1

∈[1，2]∴h(x)∈[0，

1

2

]
即函数h（x）的值域为[0，

1

2

]

点评：本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法．