Question

数列{a_n}的首项为1，前n项和是S_n，存在常数A，B使a_n+S_n=An+B对任意正整数n都成立．
（1）设A=0，求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}是等差数列，若p＜q，且，求p，q的值．
（3）设A＞0，A≠1，且对任意正整数n都成立，求M的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）A=0时，a_n+S_n=B，得出当n≥2时，由条件得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0即，从而有数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得关于A，B，C的方程，解得A，B，C．从而得出等差数列{a_n}是常数列，结合题中条件得出关于p，q的方程即可求得求p，q的值；
（Ⅲ）当n=1时，得到B=2-A所以a_n+S_n=An+（2-A），当n≥1时，由题意得出数列{a_n-A}是公比为的等比数列，下面对A进行分类讨论：①当A＞1时②当0＜A＜1时．利用不等式的放缩即可得出M的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）A=0时，a_n+S_n=B，
当n≥2时，由，{得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即，所以，数列{a_n}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，分别令n=1，2，3得：，
{，即，{，解得，{，
即等差数列{a_n}是常数列，所以S_n=n；（7分）
又，则，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以，解得．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
当n≥1时，由，{
得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即
所以，又a₁-A≠0
即数列{a_n-A}是公比为的等比数列，
所以，即，（12分）
，
①当A＞1时
且的值随n的增大而减小，
即…，
所以，，即M的取值范围是；（14分）
②当0＜A＜1时
且的值随n的增大而增大，
即…＜2，
所以，M≥2，
综上即M的取值范围是[2，+∞）．（16分）
点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列与不等式的综合、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．