Question

设an=

1.2

+

2.3

+…+

n(n+1)

（n∈N×），比较a_n，

n(n+1)

2

，

(n+1)2

2

的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：

n(n+1)

2

看成是正整数的和，利用不等关系

n(n+1)

＞

n×n

=n比较前面两个的大小；利用不等关系

n(n+1)

＜

n+(n+1)

2

来比较后面两个的大小．

解答：解：∵an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

＞1+2+…+n=

n(n+1)

2

（5分）
又∵an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

＜

1+2

2

+

2+3

2

+…+

n(n+1)

2

=

n(n+1)+n(N+3)

4

=

n2+2n

2

＜

(n+1)2

2

（11分）
∴

n(n+1)

2

＜a_n＜

(n+1)2

2

（12分）

点评：放缩法是不等式的证明里的一种方法，所谓放缩法，要证明不等式A＜B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A＜C，后证C＜B，这种证法便称为放缩法．