题目内容
已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的整数，n∈N*．
（1）若a1＜b1，b3＜a2+a3，求a，b的值；
（2）若a=2，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，记cn=Tn-λSn（λ是实常数）．
①若数列{cn}是等差数列，求λ的值；②若cn+1＞cn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
（1）若a1＜b1，b3＜a2+a3，求a，b的值；
（2）若a=2，数列{bn}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，记cn=Tn-λSn（λ是实常数）．
①若数列{cn}是等差数列，求λ的值；②若cn+1＞cn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
分析：（1）由题意可得，1＜a＜b，ba2＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b即a2＜5，a＞1且a为整数可求a然后由，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数可求b
（2）若a=2，则由题意可求，Sn=
=b(2n-1)，Tn=b（21-1+22-1+…+2n-1）=b（2n+1-n-2）
Cn=Tn-λSn=b[（2-λ）2n+λ-2-n]，可得Cn+1-Cn=b[（2-λ）2n+1+λ-2]-b[（2-λ）2n+λ-2]=b•[（2-λ）•2n-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2n为常数，可求λ
②若Cn+1＞Cn，则b[（2-λ）2n-1]＞0，可求λ得范围
（2）若a=2，则由题意可求，Sn=
| b(1-2n) |
| 1-2 |
Cn=Tn-λSn=b[（2-λ）2n+λ-2-n]，可得Cn+1-Cn=b[（2-λ）2n+1+λ-2]-b[（2-λ）2n+λ-2]=b•[（2-λ）•2n-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2n为常数，可求λ
②若Cn+1＞Cn，则b[（2-λ）2n-1]＞0，可求λ得范围
解答：解：（1）由题意可得，1＜a＜b，
∵b3＜a2+a3∴ba2＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b
即a2＜5，a＞1且a为整数
∴a=2，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数，故b=3
即a=2，b=3
（2）若a=2，则由题意可得，Sn=
=b(2n-1)，
Tn=b（21-1+22-1+…+2n-1=b•（
-n）=b•（（2n+1-2-n）
∴Cn=Tn-λSn=b•（2n+1-2-n）-λb•（2n-1）=b[（2-λ）2n+λ-2-n]
∴Cn+1-Cn=b[（2-λ）2n+1+λ-2-（n+1）]-b[（2-λ）2n+λ-2-n]=b•[（2-λ）•2n-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2n为常数，而由于2n为变量，故b（2-λ）=0，
∵b＞1
∴λ=2
②若Cn+1＞Cn，则b[（2-λ）2n-1]＞0，从而可得，2-λ＞
恒成立
∴2-λ＞
∴λ＜
∵b3＜a2+a3∴ba2＜a+b+a+2b=2a+3b＜5b
即a2＜5，a＞1且a为整数
∴a=2，4b＜2a+3b即b＜2a=4，b为整数，故b=3
即a=2，b=3
（2）若a=2，则由题意可得，Sn=
| b(1-2n) |
| 1-2 |
Tn=b（21-1+22-1+…+2n-1=b•（
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
∴Cn=Tn-λSn=b•（2n+1-2-n）-λb•（2n-1）=b[（2-λ）2n+λ-2-n]
∴Cn+1-Cn=b[（2-λ）2n+1+λ-2-（n+1）]-b[（2-λ）2n+λ-2-n]=b•[（2-λ）•2n-1]
①若数列为等差数列，则b•（2-λ）•2n为常数，而由于2n为变量，故b（2-λ）=0，
∵b＞1
∴λ=2
②若Cn+1＞Cn，则b[（2-λ）2n-1]＞0，从而可得，2-λ＞
| 1 |
| 2n |
∴2-λ＞
| 1 |
| 2 |
∴λ＜
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列中利用基本量表示数列中的项，这是数列部分考查的最基本的试题类型，而等差数列得定义与数列单调性的定义的应用是解决（2）的关键．
练习册系列答案
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已知等差数列{an}中，a4a6=-4，a2+a8=0，n∈N*．