Question

已知公差为d的等差数列a_n，0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，其前n项和为S_n，若sin（a₁+a₃）=sina₂，cos（a₃-a₁）=cosa₂．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设bn=

Sn

(n+1)•2n-1

，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质，得出sin（a₁+a₃）=sina₂然后进行化简，要注意a₁、d的范围求出a₁、d，进而得出通项公式．
（2）首先求出数列b_n的通项公式，然后利用Tn=T_n-

1

2

T_n求出结果．

解答：解：（1）∵sin（a₁+a₃）=sina₂，∴sin2a₂=2sina₂cosa₂=sina₂，∴sina₂（2cosa₂-1）=0，
∵0＜a₁＜

π

2

，0＜d＜

π

2

，∴0＜a₂＜π，∴sina₂≠0，∴cosa2=

1

2

，∴a2=

π

3

，
∵cos（a₃-a₁）=cosa₂，∴cos2d=cos

π

3

，∴d=

π

6

，∴a1=

π

6

，∴an=

π

6

+(n-1)•

π

6

=

nπ

6

，∴数列a_n的通项公式为an=

nπ

6

．
（2）∵Sn=

n(a1+an)

2

=

n(n+1)π

12

，∴bn=

Sn

(n+1)•2n-1

=

πn

6•2n

=

π

6

•

n

2n

，
∴Tn=

π

6

(

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+4•

1

24

++n•

1

2n

)①，

1

2

Tn=

π

6

[

1

22

+2•

1

23

+3•

1

24

+4•

1

25

++(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

]②，
①-②得

1

2

Tn=

π

6

(

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

-n•

1

2n+1

)=

π 12 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

nπ

6

•

1

2n+1

=

π

6

(1-

1

2n

)-

nπ

6

•

1

2n+1

，
∴Tn=

π

3

-

(n+2)π

3•2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的性质，通项公式的求法，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列一般采取错位相减的办法求前n项和．