题目内容
已知数列{an}满足Sn=
(n∈N*)，Sn是{an}的前n项的和，并且a2=1.(1)求数列{an}的前n项的和；
（2）证明：
≤
＜2.
解析：（1）由题意Sn=an，得Sn+1=an+1.
两式相减得2an+1=(n+1)an+1-nan,即（n-1）an+1=nan.
所以（n+1）an+1=nan+2.
再相加2nan+1=nan+，即2an+1=an+an+2.
所以数列{an}是等差数列.
又∵a1=
a1,
∴a1=0.
又a2=1,∴an=n-1.
所以数列{an}的前n项的和为Sn=
an=
.
（2）
=(1+
)n
=
.
∵
(r=1,2,…,n),
∴(1+
)n＜1+
=2-(
)n＜2
而(1+
)n≥
+
·
,
∴
＜2.
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