Question

（本小题满分12分）（文题满分14分）

       如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

   （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

   （Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。

Answer 1

（本小题满分12分）（文22题 满分14分）

       解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴， O为原点，建立平面直角坐标系，

       ∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,

       ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

       ∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

       设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．

       ∴曲线C的方程为+y²=1     5分

（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，

       又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

       ∵，∴．

       ∴ ，．       7分

       将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

       去分母整理，得．  10分

       同理，由可得：．

       ∴ ，是方程的两个根，

       ∴ ．        12分

（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

       显然直线  的斜率存在，设直线  的斜率为 ，则直线  的方程是 ．

       将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得

       ．   8分

       ∴ ，．

       又 ∵，

       则．∴，

       同理，由，∴．      10分

       ∴．       12分