Question

对一切正整数n，不等式

2x-1

|x|

＞

n

n+1

恒成立，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：把不等式等价转化为x＞

1

2

+

1

4n+2

  恒成立，由于

1

2

+

1

4n+2

  是个单调减函数，n=1时，

1

2

+

1

4n+2

  有最大值为

2

3

，故得实数x的取值范围．

解答：解：由题意知，实数x应是正数，不等式即 2-

1

x

＞

n

n+1

 恒成立，即

1

x

＜

2n+1

n+1

  恒成立，
即x＞

n+1

2n+1

=

1

2

+

1

4n+2

  恒成立，
∵

1

2

+

1

4n+2

  是个单调减函数，∴正整数n=1时，

1

2

+

1

4n+2

  有最大值为

2

3

，
∴实数x的取值范围是（

2

3

，+∞），
故答案为 （

2

3

，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值），以及函数的恒成立问题，利用单调性求函数的最值．