题目内容

设函数f（x）=
a
•
b
，其中
a
=（2cosx，1）
b
=（cosx，
3
sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）在区间[-
π
3
，
π
3
]上的单调递增区间；
（2）求f（x） 在[-
π
3
，
π
3
]上取的最大值时向量
a
与
b
的夹角；
（3）若函数y=2sin2x的图象按向量
c
=（m，n）（|m|＜
π
2
）平移后得到函数y=f（x）的图象，求m，n的值．
（1）由题意可得函数f（x）=
a
•
b
=2cos2x+
3
sin2x=1+cos2x+
3
sin2x=1+2sin（2x+
π
6
），
令 2kπ-
π
2
≤（2x+
π
6
）≤2kπ+
π
2
，k∈z，求得 kπ-
2π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈z，故函数的增区间为[kπ-
2π
3
，kπ+
π
6
]，k∈z，
故函数f（x）在区间[-
π
3
，
π
3
]上的单调递增区间为 [-
π
3
，
π
6
]．
（2）由于f（x）=1+2sin（2x+
π
6
），当 x∈[-
π
3
，
π
3
]时，有2x+
π
6
∈[-
π
2
，
5π
6
]，故当2x+
π
6
=
π
2
时，函数取得最大值为3．
此时，x=
π
6
，中
a
=（2cosx，1）=（
3
，1 ），
b
=（cosx，
3
sin2x）=（
3
2
，
3
2
），
cos＜
a
，
b
＞=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
3
×
3
2
+1×
3
2
2×3
=
1
2
，故＜
a
，
b
＞=
π
3
．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量
c
=（m，n）（|m|＜
π
2
）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+
π
6
） 的图象重合，
故有-m=
π
12
，n=1，即 m=-
π
12
，n=1．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是
3
2
，最小值是-
1
2
，则A=
 
，B=
 
．
设函数f（x）=
a
•
b
其中向量
a
=（2cosx，1），b=(cosx，
3
sin2x+m)．
（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
6
]时，f（x）的最大值为4，求m的值．
设函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点(
π
2
，1)，当x∈[0，
π
2
]时，|f（x）|＜2，则实数a的取值范围是（　　）
A、-
2
＜a≤1
B、1≤a＜4+3
2
C、-
2
＜a＜4+3
2
D、-a＜a＜2
设函数f（x）=
a
•
b
，其中向量
a
=（2cosx，1），
b
=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=-
1
2
，且a=
3
，b+c=3，（b＞c），求b与c的值．
已知向量
a
=（sinωx+cosωx，sinωx）
b
=（sinωx-cosωx，2
3
cosωx），设函数f（x）=
a
•
b
（x∈R）的图象关于直线x=
π
3
对称，其中常数ω∈（0，2）
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移
π
12
个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-
π
2
，
π
2
]的图象．

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