Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．
（1）求证：DC∥平面PAB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，AB∥CD，CD?平面PAB，而AB?平面PAB，根据直线和平面平行的判定定理可得 CD∥平面PAB．
（Ⅱ）先证明所以PO⊥平面ABCD，可得PO是棱锥的高，求得PO以及直角梯形ABCD的面积，再根据四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

•S_ABCD•PO，运算求得结果．

解答：（Ⅰ）证明：由题意可得，AB∥CD，CD?平面PAB，而AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC．
又侧面PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，
所以PO⊥平面ABCD．…（8分）
所以PO是棱锥的高，又AB=BC=2CD=2，PB=PC=3，PO=

PB2-BO2

=

9-1

=2

2

，
四棱锥P-ABCD的体积为

1

3

•S_ABCD•PO=

1

3

（

BC+AD

2

•BC）PO=

1

3

×

2+1

2

×2×2

2

=2

2

．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求椎体的体积，属于中档题．