Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n，S₄=2S₂+4，b_n=

1+an

an

；
（1）求公差d的值；
（2）若a₁=-

5

2

，求数列{b_n}中的最大项和最小项的值．

Answer 1

分析：（1）由求和公式代入已知可得4a₁+

3×4

2

d=2（2a₁+d）+4，解之即得d；（2）由（1）结合首项可得a_n，进而可得b_n，由函数f（x）=1+

1

x- 7 2

的单调性可得答案．

解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a₁+

3×4

2

d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…（5分）
（2）∵a₁=-

5

2

，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=n-

7

2

，…（7分）
∴b_n=1+

1

an

=1+

1

n- 7 2

．
∵函数f（x）=1+

1

x- 7 2

在（0，

7

2

）和（

7

2

，+∞）上分别是单调减函数，
∴b₃＜b₂＜b₁＜1，当n≥4时，1＜b_n≤b₄，
∴数列{b_n}中的最大项是b₄=3，最小项是b₃=-1．…（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式，求和公式和数列与函数的关系，属基础题．