Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据已知中函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，且在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（-1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（II）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0，构造函数g（x）=分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．
解答：解：（I）∵函数f（x）=ax³+bx²+2x在x=-1处取得极值，
∴f'（-1）=3a-2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=-，b=
0在（1，2）内有根．（6分）
（II）由（I）得方程f（x）+x³-2x²-x+m=0可化为：

令g（x）=
则g'（x）=2x²-3x+1
∵当x∈[，2]时，g'（x）≤0
故g（x）=在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x³-2x²-x+m=0在[，2]上恰有两个不相等的实数根，
则
解得：
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知构造关于a，b的方程，解方程求出函数的解析式，是解答本题的关键．