Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且(a－1)S_n＝a(a_n－1)(a＞0，n∈N*)．

(1)求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；

(2)已知集合A＝{x|x²＋a≤(a＋1)x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N*都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)当n＝1时，∵(a－1)S1＝a(a1－1)，∴a1＝a(a＞0)；　1分 　　当n≥2时，∵(a－1)Sn＝a(an－1)(a＞0)，∴(a－1)Sn－1＝a(an－1－1)(a＞0)， 　　∴(a－1)an＝a(an－an－1)，变形得：＝a(n≥2)，　4分 　　∴数列是以a1＝a为首项，a为公比的等比数列，an＝an．　6分 　　(2)当a＝1时，A＝{1}，Sn＝n，只有n＝1时，Sn∈A，∴a＝1不合题意；　8分 　　当a＞1时，A＝{x|1≤x≤a}，S2＝a＋a2＞a，∴S2A， 　　∴a＞1时不存在满足条件得实数a；　10分 　　当0＜a＜1时，A＝{x|a≤x≤1}， 　　Sn＝a＋a2＋a3＋…＋an＝(1－an)∈[a，)，　11分 　　因此对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需解得0＜a≤， 　　综上得实数a的取值范围是(0，]　13分