题目内容

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
Sn
}是公差为d的等差数列，则数列{an}的通项公式为
（2n-1）d2
（2n-1）d2
．（用n，d表示）．
分析：根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于a1、d的方程，求出a1，进而推出sn，再利用an与sn的关系求出an．
解答：解：由题意知：d＞0，
sn
=
s1
+（n-1）d=
a1
+（n-1）d，又2a2=a1+a3，
∴3a2=S3，即3（S2-S1）=S3，
∴3[(
a1
+d)2-a1]2=(
a1
+2d)2，
化简得：a1-2
a1
•d+d2=0，化简可得 
a1
=d，即 a1=d2．
∴
Sn
= 
a1
+ (n-1)d=d+（n-1）d=nd，∴Sn=n2d2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-（n-1）2d2=（2n-1）d2，也适合n=1情形，故所求an=（2n-1）d2 ．
故答案为（2n-1）d2．
点评：本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力．
练习册系列答案
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设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足5an，5bn，5an+1成等比数列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an、bn．
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
Sn
}是公差为d的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求证：c的最大值为
9
2
．
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{
Sn
}是公差为d的等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．
（2013•广东）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）证明：a2=
4a1+5
；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令数列bn=|c|
an
2n
，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn＞8对n∈N*恒成立，求c的取值范围．

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