Question

已知函数．
（1）当时，讨论f（x）的单调性；
（2）设g（x）=x²-2bx+4，当，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）+g（x₂）≤0，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（1）．（2分）
①当，即时，此时f（x）的单调性如下：

x	（0，1）	1	（1，）		（）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增		减		增

（4分）
②当a=0时，，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（5分）
③当a＜0时，，当0＜x＜1时f（x）递增；
当x＞1时，f（x）递减；（6分）
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当时，f（x）在（0，1），（）上是增函数，
在（1，）上是减函数．（7分）
（2）由（1）知，当时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x₁∈（0，2）时，．（8分）
从而存在x₂∈[1，2]，
使g（x₂）=（10分）
考察g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]_min=（舍去）..（11分）
②当b≥2时，，g（x）在[1，2]上递减，
∴..（12分）
③当1＜b＜2时，，无解．（13分）
综上（14分）
分析：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知，当时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．于是x₁∈（0，2）时，从而存在x₂∈[1，2]，使g（x₂）=x₂²-2bx₂+4，且下面考查g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]的最小值．对字母b进行分类讨论：①当b≤1时，②当b≥2时，③当1＜b＜2时，即可求得实数b的取值范围．
点评：本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属于基础题．