Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：AC⊥BD₁
（2）求异面直线AC与BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的判定与性质加以证明，可得AC⊥BD₁；
（2）连结AD₁、CD₁，可证出四边形ABC₁D₁是平行四边形，得BC₁∥AD₁，得∠D₁AC（或补角）就是异面直线AC与BC₁所成角．等边△AD₁C中求出∠D₁AC=60°，即得异面直线AC与BC₁所成角的大小．

解答：解：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁；
（2）连结AD₁、CD₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB

∥

.

C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，得BC₁∥AD₁，
由此可得∠D₁AC（或补角）就是异面直线AC与BC₁所成角．
∵△AD₁C是等边三角形，
∴∠D₁AC=60°，即异面直线AC与BC₁所成角的大小为60°．

点评：本题在正方体中证明线面垂直，并求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．