Question

4．如图，在⊙O直径AB的延长线上任取一点C，过点C做直线CE与⊙O交于点D、E，在⊙O上取一点F，使$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，连接DF，交AB于G．
（1）求证：E、D、G、O四点共圆；
（2）若CB=OB，求$\frac{CB}{CG}$的值．

Answer 1

分析 （1）证明∠EDF=∠AOE，利用∠COE与∠AOE互补，可得∠COE与∠EDF互补，从而可得E、D、G、O四点共圆；
（2）利用四点共圆，结合割线定理，即可求$\frac{CB}{CG}$的值．

解答 （1）证明：∵∠EDF的度数等于$\widehat{EAF}$的度数的一半，而$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，
∴∠EDF的度数等于$\widehat{AE}$的度数．
∵∠AOF的度数等于$\widehat{AE}$的度数，
∴∠EDF=∠AOE，
∵∠COE与∠AOE互补，
∴∠COE与∠EDF互补，
∴E、D、G、O四点共圆；
（2）解：由（Ⅰ）知E、D、G、O四点共圆，
∴CE•CD=CO•CG，
∵CE•CD=CA•CB，
∴CA•CB=CO•CG，
∵CB=OB，
∴$\frac{CB}{CG}$=$\frac{CO}{CA}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查圆內接多边形的性质与判定，考查割线定理，确定四点共圆是关键．