Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx-2cos2x+1．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若△ABC中，f(A-

π

12

)=

3

，且b+c=4，求∠A的大小及边长a的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数为f(x)=2sin(2x-

π

6

)，利用周期公式，求出函数的周期，正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．
（2）通过f(A-

π

12

)=

3

求出A的值，利用余弦定理求出a的最小值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2x-cos2x=2sin(2x-

π

6

)
∴f（x）最小周期为T=

2π

2

=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈z
∴f（x）单调递增区间为[-

π

6

+kπ ，

π

3

 +kπ]，k∈z
（2）f(A-

π

12

)=

3

，所以2sin[2(A- 

π

12

)-

π

6

]=

3

，即：sin(2A-

π

3

)=

3

2

，因为A是三角形的内角，所以A=

π

3

，A=

π

2

；b+c=4，所以a²=b²+c²-2bccosA；当A=

π

3

时，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc≥16-3(

b+c

2

)2=4，a的最小值是2；同理当A=

π

2

时，a的最小值为2

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，周期的求法、单调增区间的确定，余弦定理的应用，考查计算能力．基本不等式的应用．